Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，直線的傾斜角為，橢圓上的點到焦點的最大距離為3．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若經過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且，兩點均在軸的左側，記和的面積分別為和，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據直線的傾斜角為可得，橢圓上的點到焦點的最大距離為3，可得，再結合可解得，，從而可得橢圓的標準方程為．

（2）①當直線斜率不存在時，；②當直線斜率存在時，設直線方程為，，，顯然的，同號，聯立，根據韋達定理求得，再根據函數在上單調遞增可求得，進一步求得.

（1）因為橢圓方程為，直線的傾斜角為，

所以在中（為坐標原點），，所以，

因為橢圓上的點到焦點的最大距離為3，

所以，所以．

因為，

所以，解得或，

又，所以，，

所以橢圓的標準方程為．

（2）①當直線斜率不存在時，直線方程為，

此時，，與的面積相等，．

②當直線斜率存在時，因為，兩點均在軸的左側，

設直線方程為，，，顯然的，同號，

由，得，

顯然，方程有實根，

由韋達定理知的，，

又，所以或，

此時

因為或，所以．

因為函數在上單調遞增，所以，

所以，

所以．

當直線的斜率存在時，．

綜上所述，的取值范圍為．