Question

【題目】如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為的扇形，小區的兩個出入口設置在點及點處，且小區里有一條平行于的小路。

（1）已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長（精確到米）

（2）若該扇形的半徑為，已知某老人散步，從沿走到，再從沿走到，試確定的位置，使老人散步路線最長。

Answer 1

【答案】（1）445米；（2）在弧的中點處

【解析】

（1）假設該扇形的半徑為米，在中，利用余弦定理求解；（2）設設，在中根據正弦定理，用和表示和，進而利用和差公式和輔助角公式化簡，再根據三角函數的性質求最值.

（1）方法一：設該扇形的半徑為米，連接. 由題意，

得(米)，（米），

在中，

即，

解得（米)

方法二：連接，作，交于，由題意，得（米），

（米）， ，在中，

.

（米）. .

在直角 中，（米），

（米）.

（2）連接，設，

在中，由正弦定理得：，

于是， 則

，

所以當時，最大為 ，此時在弧的中點處。