Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.
（1）求證：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（2）在AE上求一點M，使得A₁M⊥平面ADE.

Answer 1

(1)證明略 (2) 當=時，A₁M⊥平面ADE

  建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz，
不妨設正方體的棱長為2，
則A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
設平面AED的法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），
則n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，0，0）=0，
n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，2，1）=0，
∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.
令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),
同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).
∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,
∴平面AED⊥平面A₁FD₁.
（2）解 由于點M在直線AE上，
設==（0，2，1）=（0，2，）.
可得M（2，2，），∴=（0，2，-2），
∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，
只需A₁M⊥AE，
∴·=（0，2，-2）·（0，2，1）=5-2=0，
解得=.
故當=時，A₁M⊥平面ADE.