Question

已知三點P（5，2）、F₁（－6，0）、F₂（6，0）。
（1）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
（2）設點P、F₁、F₂關于直線y＝x的對稱點分別為，求以為焦點且過點的雙曲線的標準方程。

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）根據橢圓的定義，，又，利用，可求出，從而得出橢圓的標準方程，本題要充分利用橢圓的定義.（2）由于F₁、F₂關于直線的對稱點在軸上，且關于原點對稱，故所求雙曲線方程為標準方程，同樣利用雙曲線的定義有，又，要注意的是雙曲線中有，故也能很快求出結論.
試題解析：（1）由題意，可設所求橢圓的標準方程為，其半焦距,
故所求橢圓的標準方程為；
（2）點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）關于直線y＝x的對稱點分別為：，，，設所求雙曲線的標準方程為，由題意知半焦距=6，
  ∴，
故所求雙曲線的標準方程為。