Question

知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點.試問軸上是否存在異于的定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

試題分析：（1）由離心率為可得到一個關于的方程，再根據MB₁⊥MB₂即可得；（2）本題采用“設而不求”的方法，將A，B兩點坐標設出，但不求出.注意到平分，則直線的傾斜角互補這個性質,從而由斜率著手，以韋達定理為輔助工具，得出點P的坐標.
試題解析：（1）由得
又,知是等腰直角三角形，從而.
所以橢圓C的方程是.                                  5分
（2）設，直線AB的方程為
由得，
所以 ①，②                       8分
若平分，則直線的傾斜角互補，
所以
設，則有，                                 10分
將代入上式，整理得，
將①②代入得，由于上式對任意實數(shù)都成立，所以.
綜上，存在定點，使平分PM平分∠APB.                       13分