Question

已知關于x的不等式e^x|x-a|≥x在x∈R上恒成立，則實數a的取值范圍為______．

Answer 1

∵e^x|x-a|≥x，
∴|x-a|≥

x

ex

，
∴x-a≤-

x

ex

或x-a≥

x

ex

，
∴a≥x+

x

ex

或a≤x-

x

ex

，
∵關于x的不等式e^x|x-a|≥x在x∈R上恒成立，
∴a≥x+

x

ex

或a≤x-

x

ex

在x∈R上恒成立，
令f（x）=x+

x

ex

，g（x）=x-

x

ex

，
∴a≥x+

x

ex

或a≤x-

x

ex

在x∈R上恒成立，
轉化為a≥f（x）_max①，或a≤g（x）_min②，
下面求解①：
∵f（x）=x+

x

ex

，
∴f′（x）=1+

(1-x)ex

(ex)2

=

ex-x+1

ex

，
令h（x）=e^x-x+1，則h′（x）=e^x-1=0，解得x=0，
當x＜0時，h′（x）＜0，當x＞0時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴h（x）的最小值為h（0）=2，
∴h（x）＞0對x∈R恒成立，
∴f′（x）=

ex-x+1

ex

＞0對x∈R恒成立，
∴f（x）在R上為單調遞增函數，
故f（x）無最大值，
∴a無解；
下面求解②：
∵g（x）=x-

x

ex

，
∴g′（x）=1-

(1-x)ex

(ex)2

=

ex+x-1

ex

，
令m（x）=e^x+x-1，則m′（x）=e^x+1＞0對x∈R恒成立，
∴m（x）在R上為單調遞增函數，
又m（0）=0，
∴當x＜0時，m（x）＜0，即g′（x）＜0，
當x＞0時，m（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴當x=0時，g（x）取得最小值g（x）_min=0，
∴a≤0．
綜合①②，實數a的取值范圍為a≤0．