Question

已知函數f(x)=ln

x+1

x-1

（1）求函數f（x）的定義域，并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）對于x∈[2，6]，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求實數m取值范圍．

Answer 1

（1）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）（2分）
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f(-x)=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=ln(

x+1

x-1

)-1=-ln

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=ln

x+1

x-1

是奇函數．…．（5分）
（2）由x∈[2，6]時，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，
∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立…（8分）
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函數的性質可知x∈[2，3]時函數單調遞增，x∈[3，6]時函數單調遞減，
∴x∈[2，6]時，g（x）_min=g（6）=7
∴0＜m＜7…．（12分）