Question

（2012•湖北）（I）已知函數f（x）=rx-x^r+（1-r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；
（II）試用（I）的結果證明如下命題：設a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，若b₁+b₂=1，則a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂；
（III）請將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．注：當α為正有理數時，有求道公式（x^α）^r=αx^α-1．

Answer 1

分析：（I）求導函數，令f′（x）=0，解得x=1；確定函數在（0，1）上是減函數；在（0，1）上是增函數，從而可求f（x）的最小值；
（II）由（I）知，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥f（1）=0，即x^r≤rx+（1-r），分類討論：若a₁，a₂中有一個為0，則a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂成立；若a₁，a₂均不為0，x=

a1

a2

，r=b1，可得a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂成立
（III）（II）中的命題推廣到一般形式為：設a₁≥0，a₂≥0，…，a_n≥0，b₁，b₂，…，b_n為正有理數，若b₁+b₂+…+b_n=1，則a₁^b1a₂^b2…a_n^bn≤a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n；
用數學歸納法證明：（1）當n=1時，b₁=1，a₁≤a₁，推廣命題成立；（2）假設當n=k時，推廣命題成立，證明當n=k+1時，利用a₁^b1a₂^b2…a_k^bka_k+1^bk+1=（a₁^b1a₂^b2…a_k^bk）a_k+1^bk+1=(a1

b1

1-bk+1

a2

b2

1-bk+1

…ak

bk

1-bk+1

)1-bk+1a_k+1^bk+1，結合歸納假設，即可得到結論．

解答：（I）解：求導函數可得：f′（x）=r（1-x^r-1），令f′（x）=0，解得x=1；
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是減函數；
當x＞1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數
所以f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0；
（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥f（1）=0，即x^r≤rx+（1-r）①
若a₁，a₂中有一個為0，則a₁^b₁a₂^b₂≤a₁b₁+a₂b₂成立；
若a₁，a₂均不為0，∵b₁+b₂=1，∴b₂=1-b₁，
∴①中令x=

a1

a2

，r=b1，可得a₁^b₁a₂^b₂≤a₁b₁+a₂b₂成立
綜上，對a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，若b₁+b₂=1，則a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂；②
（III）解：（II）中的命題推廣到一般形式為：設a₁≥0，a₂≥0，…，a_n≥0，b₁，b₂，…，b_n為正有理數，若b₁+b₂+…+b_n=1，則a₁^b₁a₂^b₂…a_n^b_n≤a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n；③
用數學歸納法證明
（1）當n=1時，b₁=1，a₁≤a₁，③成立
（2）假設當n=k時，③成立，即a₁≥0，a₂≥0，…，a_k≥0，b₁，b₂，…，b_k為正有理數，若b₁+b₂+…+b_k=1，則a₁^b₁a₂^b₂…a_k^b_k≤a₁b₁+a₂b₂+…a_kb_k．
當n=k+1時，a₁≥0，a₂≥0，…，a_k+1≥0，b₁，b₂，…，b_k+1為正有理數，若b₁+b₂+…+b_k+1=1，則1-b_k+1＞0
于是a₁^b₁a₂^b₂…a_k^b_ka_k+1^b_k+1=（a₁^b₁a₂^b₂…a_k^b_k）a_k+1^b_k+1=(a1

b1

1-bk+1

a2

b2

1-bk+1

…ak

bk

1-bk+1

)1-bk+1a_k+1^b_k+1
∵

b1

1-bk+1

+

b2

1-bk+1

+…+

bk

1-bk+1

=1
∴a1

b1

1-bk+1

a2

b2

1-bk+1

…ak

bk

1-bk+1

≤a1×

b1

1-bk+1

+a2×

b2

1-bk+1

+…+ak×  

bk

1-bk+1

=

a1b1+a2b2+…+akbk

1-bk+1

∴(a1

b1

1-bk+1

a2

b2

1-bk+1

…ak

bk

1-bk+1

)1-bk+1a_k+1^b_k+1≤

a1b1+a2b2+…+akbk

1-bk+1

•（1-b_k+1）+a_k+1b_k+1，
∴a₁^b₁a₂^b₂…a_k^bka_k+1^b_k+1≤a₁b₁+a₂b₂+…a_kb_k+a_k+1b_k+1．
∴當n=k+1時，③成立
由（1）（2）可知，對一切正整數，推廣的命題成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查不等式的證明，考查數學歸納法，解題的關鍵是分類討論，正確運用已證得的結論，掌握數學歸納法的證題步驟，屬于難題．