Question

設(shè)F為拋物線C：y²=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線方程求出焦點坐標(biāo)，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點縱坐標(biāo)的和與積，把△OAB的面積表示為兩個小三角形AOF與BOF的面積和得答案．

解答： 解：由y²=3x，得2p=3，p=

3

2

，
則F（

3

4

，0）．
∴過A，B的直線方程為y=

3

3

（x-

3

4

），
即x=

3

y+

3

4

．
聯(lián)立

y2=3x x= 3 y+ 3 4

，得4y²-12

3

y-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=3

3

，y₁y₂=-

9

4

．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=

1

2

×

3

4

|y₁-y₂|
=

3

8

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

8

×

(3 3 )2+9

=

9

4

．
故答案為：

9

4

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．