Question

【題目】北京是我國嚴重缺水的城市之一．為了倡導“節約用水，從我做起”，小明在他所在學校的2000名同學中，隨機調查了40名同學家庭中一年的月均用水量（單位：噸），并將月均用水量分為6組：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）給出圖中實數a的值；
（Ⅱ）根據樣本數據，估計小明所在學校2000名同學家庭中，月均用水量低于8噸的約有多少戶；
（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10噸的樣本數據中，小明決定隨機抽取2名同學家庭進行訪談，求這2名同學中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為各組的頻率之和為1，

所以月均用水量在區間[10，12）的頻率為1﹣（0.025×2+0.075+0.100+0.225）×2=0.1，

所以，圖中實數a=0.1÷2=0.050．

（Ⅱ）由圖可知，樣本數據中月均用水量低于8噸的頻率為（0.025+0.075+0.225）×2=0.65，…

所以小明所在學校2000名同學家庭中，月均用水量低于8噸的約有0.65×2000=1300（戶）．

（Ⅲ）設“這2名同學中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組”為事件A，

由圖可知，樣本數據中月均用水量在[10，12）的戶數為0.050×2×40=4．

記這四名同學家庭分別為a，b，c，d，

月均用水量在[12，14]的戶數為0.025×2×40=2．記這兩名同學家庭分別為e，f，

則選取的同學家庭的所有可能結果為：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），

（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15種，…（9分）

事件A的可能結果為：

（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8種，…（11分）

所以這2名同學中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組的概率 ．

【解析】（Ⅰ）由各組的頻率之和為1，求出月均用水量在區間[10，12）的頻率，由此能求出圖中實數a的值．（Ⅱ）求出樣本數據中月均用水量低于8噸的頻率為0.65，由此能求出小明所在學校2000名同學家庭中，月均用水量低于8噸的約有多少戶．（Ⅲ）設“這2名同學中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組”為事件A，由圖可知，樣本數據中月均用水量在[10，12）的戶數為4，記這四名同學家庭分別為a，b，c，d，月均用水量在[12，14]的戶數為2．記這兩名同學家庭分別為e，f，利用列舉法能求出這2名同學中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組的概率．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．