Question

【題目】設函數 ．
（1）用含a的式子表示b；
（2）令F（x）= ，其圖象上任意一點P（x0 ， y0）處切線的斜率 恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若a=2，試求f（x）在區間 上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），

∵f′（x）= ﹣ax+b，

f′（1）=1﹣a+b=0，

∴b=a+1

（2）解：F（x）=lnx+ ，

∴F′（x）= ﹣ =

∴k=F′（x）= ≤ 在（0，3]上恒成立，

∴a≥（﹣ x02+x0）max，x0∈（0，3]，

當x0=1時，﹣ x02+x0的取得最大值 ，

∴a≥

（3）解：當a=2時，f（x）=lnx﹣x2+x，

∴f′（x）= ﹣2x+1= ，

令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣ （舍去），

當0＜x＜1時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增，

當x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減，

當c+ ≤1，即0＜c≤ 時，f（x）區間 上單調遞增，

∴f（x）max=f（c+ ）=ln（c+ ）﹣（c+ ）2+c+ =ln（c+ ）+ ﹣c2，

當 ．即 ＜c＜1時，f（x）在[c，1]上單調遞增，在[1，c+ ]上單調遞減，

∴f（x）max=f（1）=0，

當c≥1時，f（x）在[c，c+ ]上單調遞減，

∴f（x）max=f（c）=lnc﹣c2+c，

綜上所述，當0＜c≤ 時，f（x）max=ln（c+ ）+ ﹣c2，

當 ＜c＜1時，f（x）max=0，

當c≥1時，f（x）max=lnc﹣c2+c

【解析】（1）先求導，再代值計算即可得到b=a+1；（2）根據導數的幾何意義求出直線的斜率，再根據二次函數的性質求出a的范圍；（3）求導，分類討論，根據導數和函數的最大值得關系即可求出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．