Question

【題目】如圖，已知三棱柱中，平面平面，，.

（1）證明：；

（2）設，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）連結.由菱形得對角線垂直，再由已知及面面垂直的性質定理得線面垂直平面，平面，從而，于是證得線面垂直后再得線線垂直；

（2）取的中點為，連結，證得與都垂直后，以為原點，為正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，則法向量夾角得二面角，注意要判斷二面角是銳角還是鈍角．

（1）連結.

∵，四邊形為菱形，∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.

又∵，∴平面，∴.

∵，

∴平面，而平面，

∴

（2）取的中點為，連結.

∵，四邊形為菱形，，∴，.

又由（1）知，以為原點，為正方向建立空間直角坐標系，如圖.

設，，，，

∴（0，0，0），（1，0，），（2，0，0），（0，1，0），（-1，1，）.

由（1）知，平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，則，∴.

∵，，∴.

令，得，即.

∴，

∴二面角的余弦值為