Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

x-a

的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）（a為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ） 求實(shí)數(shù)a，使曲線y=f（x）在點(diǎn)（a+2，f（a+2））處的切線斜率為-

a3+6a2+12a+7

4

；
（Ⅲ） 當(dāng)x≠a時(shí)，若不等式|

f′(x)

f(x)

|+k|x-a|≥1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令a+2=t，則有e^t+t³-1=0，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出即可；
（Ⅲ）原不等式可化為|

x-a-1

x-a

|+k|x-a|≥1，在分類討論，繼而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，a）∪（a，+∞），…（1分）
對(duì)f（x）求導(dǎo)得：f′(x)=

ex(x-a-1)

(x-a)2

，…（2分）
由f'（x）＞0得x＞a+1；由f'（x）＜0得x＜a或a＜x＜a+1，…（4分）
所以f（x）在（-∞，a），（a，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′(a+2)=

ea+2

4

…（6分）
令

ea+2

4

=-

a3+6a2+12a+7

4

得 e^a+2+a³+6a²+12a+7=0…①
令a+2=t，則有e^t+t³-1=0，…（8分）
令h（t）=e^t+t³-1，則h'（t）=e^t+3t²＞0，…（9分）
故h（t）是R上的增函數(shù)，又h（0）=0，因此0是h（t）的唯一零點(diǎn)，即-2是方程①的唯一實(shí)數(shù)解，
故存在唯一實(shí)數(shù)a=-2滿足題設(shè)條件．…（10分）
（Ⅲ）因?yàn)?span id="hv5nlf7" class="MathJye">|

f′(x)

f(x)

|=|

x-a-1

x-a

|，故不等式|

f′(x)

f(x)

|+k|x-a|≥1可化為|

x-a-1

x-a

|+k|x-a|≥1，
令x-a=t，則t≠0，…（11分）   且有k|t|≥1-|1-

1

t

|…（12分）
①若t＜0，則-kt≥

1

t

，即k≥-

1

t2

，此時(shí)k≥0；
②若0＜t≤1，則kt≥2-

1

t

，即k≥

2

t

-

1

t2

=-(

1

t

-1)2+1，此時(shí)k≥1；
③若t＞1，則kt≥

1

t

，即k≥

1

t2

，此時(shí)k≥1．
故使不等式恒成立的k的取值范圍是[1，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及不等式恒成立的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題