Question

【題目】已知.

（1）對一切， 恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，求函數在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；

（3）證明：對一切，都有成立.

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據對一切恒成立，也就是在恒成立，下面只要求出函數的最小值，使得小于函數的最小值即可；（2）要求函數最值，不管遇到什么特殊的函數，一定要按照求最值的方法按部就班的來解，首先求導，令導函數對于零，得到可能是極值點，根據極值點和區間兩個端點之間的關系，得到結果；（3）要證不等式在一個區間上恒成立，把問題進行等價變形，由（2）知時， 的最小值是，只要求函數最大值進行比較即可.

試題解析：（1）對一切恒成立，即恒成立.

也就是在恒成立. 令 ，

則，

在上，在上，

因此，在處取極小值，也是最小值，即，所以.

（2）當,，由得.

①當時，在上，在上

因此，在處取得極小值，也是最小值. .

由于

因此，.

②當，，因此上單調遞增，所以，.

（3）證明：問題等價于證明,

由(Ⅱ)知時，的最小值是，當且僅當時取得，

設，則，易知

，當且僅當時取到，

但從而可知對一切，都有成立.