Question

在平面直角坐標系xOy中，平面區(qū)域W中的點的坐標（x，y）滿足x²+y²≤5，從區(qū)域W中隨機取點M（x，y）．
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，求點M位于第四象限的概率；
（Ⅱ）已知直線l：y=-x+b（b＞0）與圓O：x²+y²=5相交所截得的弦長為

15

，求y≥-x+b的概率．

Answer 1

（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，則點M的個數(shù)共有21個，
列舉如下：（-2，-1），（-2，0），（-2，1）；（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，1），（1，2）；（2，-1），（2，0），（2，1）．
當點M的坐標為（1，-1），（1，-2），（2，-1）時，點M位于第四象限．
故點M位于第四象限的概率為

1

7

．（6分）

（Ⅱ）由已知可知區(qū)域W的面積是5π．
因為直線l：y=-x+b與圓O：x²+y²=5的弦長為

15

，
如圖，可求得扇形的圓心角為

2

3

π，
所以扇形的面積為S=

1

2

×

2

3

π×

5

×

5

=

5

3

π，
則滿足y≥-x+b的點M構成的區(qū)域的面積為S=

5

3

π-

1

2

×

5

×

5

×sin

2

3

π=

20π-15 3

12

，
所以y≥-x+b的概率為

20π-15 3 12

5π

=

4π-3 3

12π

．（13分）