Question

（2013•大興區一模）已知動點P到點A（-2，0）與點B（2，0）的斜率之積為-

1

4

，點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若點Q為曲線C上的一點，直線AQ，BQ與直線x=4分別交于M、N兩點，直線BM與橢圓的交點為D．求證：A、D、N三點共線．

Answer 1

分析：（I）設P點坐標（x，y），利用斜率計算公式即可得到

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，化簡即可得到曲線C的方程；
（II）由已知直線AQ的斜率存在且不等于0，設方程為y=k（x+2），與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到D，N的坐標，證明k_AD=k_AN．即可得到A、D、N三點共線．

解答：解：（I）設P點坐標（x，y），則kAP=

y

x+2

（x≠-2），kBP=

y

x-2

（x≠2），
由已知

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，化簡得：

x2

4

+y2=1．
所求曲線C的方程為

x2

4

+y2=1（x≠±2）．
（II）由已知直線AQ的斜率存在且不等于0，
設方程為y=k（x+2），
由

x2+4y2=4 y=k(x+2)

，消去y得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0…（1）．
因為-2，x_Q是方程（1）的兩個根，
所以-2×xQ=

16k2-4

1+4k2

，得xQ=

2-8k2

1+4k2

，
又yQ=k(xQ+2)=k(

2-8k2

1+4k2

+2)=

4k

1+4k2

，所以Q(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)．
當x=4，得y_M=6k，即M（4，6k）．
又直線BQ的斜率為-

1

4k

，方程為y=-

1

4k

(x-2)，當x=4時，得yN=-

1

2k

，即N(4，-

1

2k

)．
直線BM的斜率為3k，方程為y=3k（x-2）．
由

x2+4y2=4 y=3k(x-2)

，消去y得：（1+36k²）x²-144k²x+144k²-4=0…（2）．
因為2，x_D是方程（2）的兩個根，所以2•xD=

144k2-4

1+36k2

，
得xD=

72k2-2

1+36k2

，又yD=3k(xD-2)=-

12k

1+36k2

，即D(

72k2-2

1+36k2

，-

12k

1+36k2

)．
由上述計算：A（-2，0），D(

72k2-2

1+36k2

，-

12k

1+36k2

)，N(4，-

1

2k

)．
因為kAD=-

1

12k

，kAN=-

1

12k

，所以k_AD=k_AN．
所以A、D、N三點共線．

點評：本題主要考查橢圓的方程與性質、直線的方程、直線與橢圓的位置關系、利用斜率線段證明三點共線等基礎知識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．