Question

【題目】已知數列的首項，前項和為，且滿足．

（1）若數列為遞增數列，求實數的取值范圍；

（2）若，數列滿足，，求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先根據已知等式得到和之間的關系，再根據遞推關系得到從第二項起數列的奇數項與數項與偶數項分別成等差數列，且公差為，進而得到數列為遞增數列的條件，列出不等式組，解之可得實數的取值范圍；（2）結合（1）及錯位相減減法求解即可．

（1）由題意得，

，①

則，②

所以，

所以，③

所以從第二項起數列的奇數項與偶數項分別成等差數列，且公差為，

令，由①式得，得，

令，由②式得，得，

令，由③式得，得，

要使數列為遞增數列，則，

即，解得，

所以實數的取值范圍為．

（2）由（1）知，，

則，

當時，，

，

兩式相減得，

，即，

經檢驗，上式對也適用，故．