Question

盒子里裝有6件包裝完全相同的產品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品．為了找到2件次品，只好將盒子里的這些產品包裝隨機打開檢查，直到兩件次品被全部檢查或推斷出來為止．記ξ表示將兩件次品被全部檢查或推斷出來所需檢查次數．
（1）求兩件次品被全部檢查或推斷出來所需檢查次數恰為4次的概率；
（2）求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意檢查次數為4次包含兩類結果：前三次檢查中有一個次品，第4次檢查出次品和前四次檢查全檢查出正品，利用互斥事件的概率公式求得；
（2）由題意由于ξ表示將兩件次品被全部檢查或推斷出來所需檢查次數，根據題意則ξ可能取2，3，4，5，利用隨機變量的定義及其分布列，再代入期望定義即可．

解答：解：（1）檢查次數為4次包含兩類情形：
①前三次檢查中有一個次品，第4次檢查出次品，
②前四次檢查中全為正品，
所以所求概率為P=

C 1 2 C 2 4 A 3 3

A 4 6

+

A 2 4

A 3 4 C 3 4

=

4

15

（2）由題意，由于ξ表示將兩件次品被全部檢查或推斷出來所需檢查次數，ξ可能取2，3，4，5；
P(ξ=2)=

1

15

，P(ξ=3)=

2

15

，P(ξ=4)=

4

15

，P(ξ=5)=

8

15

，
分布列如下表：

利用期望定義可得：Eξ=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

4

15

+5×

8

15

=

64

15

．

點評：此題考查了排列數，組合數，古典概型的計算公式，隨機變量的定義及分布列，隨機變量的期望．