Question

已知冪函數f（x）=xm2-2m-3（m∈N₊）的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數，求滿足(3+2a)-

m

3

＞(a-1)-

m

3

的a的取值范圍．

Answer 1

考點：冪函數的性質,函數單調性的性質

專題：

分析：冪函數y=x^α的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數．則必須滿足α為偶數且α＜0，則易得m的值．再根據冪函數y=x^α的單調性，求滿足(3+2a)-

m

3

＞(a-1)-

m

3

的a的取值范圍．

解答： 解：∵m∈N₊，∴m=1，2．
又函數的圖象關于y軸對稱，∴m²-2m-3是偶數，
而2²-2×2-3=-3為奇數，1²-2×1-3=-4為偶數，∴m=1．…（5分）
∵函數y=x-

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均為減函數，
∵(a-1)-

1

3

＜(3+2a)-

1

3

∴a-1＞3+2a＞0或0＞a-1＞3+2a或a-1＜0＜3+2a…（9分）
解得a＜-4或-

3

2

＜a＜1
故a的取值范圍為{a|a＜-4或-

3

2

＜a＜1}      …（12分）

點評：冪函數y=x^α，α＜0時則為減函數；α＞0時，冪函數為增函數．要注意α的不同，其定義域是不同的．解不等式時要注意．