Question

【題目】在正四面體 ABCD 中，P，Q分別是棱 AB，CD的中點，E，F分別是直線AB，CD上的動點，M 是EF 的中點，則能使點 M 的軌跡是圓的條件是（ ）

A. PE＋QF＝2B. PEQF＝2

C. PE＝2QFD. PE2＋QF2＝2

Answer 1

【答案】D

【解析】

先由對稱性找到PQ、EF的中點在中截面GHLK上運動，利用向量的加減運算，得到，結合正四面體的特征將等式平方得到4，由圓的定義得到結論.

如圖：取BC、BD、AC、AD的中點為G、H、K、L，因為P、Q是定點，所以PQ的中點O為定點，由對稱性可知，PQ、EF的中點在中截面GHLK上運動，

∵+=+,∴，

又在正四面體中，對棱垂直，∴PEQF，

∴，

∴4=

若點M的軌跡是以O為圓心的圓，則為定值，

只有D符合題意，故選D.