Question

在直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和為4，設點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求k的值；
（3）若點A在第一象限，證明：當k＞0時，恒有|

OA

|＞|

OB

|．

Answer 1

分析：說明：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．

解答：解：
（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．（5分）
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化簡得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．（8分）
（Ⅲ）因為A（x₁，y₁）在橢圓上，所以滿足y²=4（1-x²），y₁²=4（1-x₁²），

|OA|

2-

|OB|

2=

x

2 1

+

y

2 1

-(

x

2 2

+

y

2 2

)=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=

6k(x1-x2)

k2+4

．
因為A在第一象限，故x₁＞0．由x1x2=-

3

k2+4

知x₂＜0，從而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故

|OA|

2-

|OB|

2＞0，
即在題設條件下，恒有

|OA|

＞

|OB|

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的運用以及直線與橢圓的位置關系，難點在與計算量較大，平時應加大訓練的力度與方向性．