Question

已知關于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0．
（Ⅰ）若方程有兩根，其中一根在區間（-1，0）內，另一根在區間（1，2）內，求m 的取值范圍．
（Ⅱ）若方程兩根均在區間（0，1）內，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把問題轉化為拋物線f（x）=x²+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間（-1，0）和（1，2）內，解不等式組

f(0)=2m+1＜0 f(-1)=2＞0 f(1)=4m+2＜0 f(2)=6m+5＞0

求出m的取值范．
 （Ⅱ）若拋物線與x軸交點均落在區間（0，1）內，則有

f(0)＞0 f(1)＞0 △≥0 0＜-m＜1.

，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）=x²+2mx+2m+1，問題轉化為拋物線f（x）=x²+2mx+2m+1與x軸的交點分別在
區間（-1，0）和（1，2）內，則

f(0)=2m+1＜0 f(-1)=2＞0 f(1)=4m+2＜0 f(2)=6m+5＞0

，可得

m＜- 1 2 m∈R m＜- 1 2 m＞- 5 6

．
解得-

5

6

＜m＜-

1

2

，
∴m 的取值范圍為 (-

5

6

，-

1

2

)．
（Ⅱ）若拋物線與x軸交點均落在區間（0，1）內，則有

f(0)＞0 f(1)＞0 △≥0 0＜-m＜1.

，即

m＞- 1 2 m＞- 1 2 m≥1+ 2 或m≤1- 2 -1＜m＜0

，解得-

1

2

＜m≤1-

2

，
故m的取值范圍為 (-

1

2

，1-

2

]．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．