Question

已知關于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的兩根α，β滿足6α-2αβ+6β=3，且a₁=1
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求數列的通項公式a_n；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．并求S_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用韋達定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到結論；
（2）對（1）的結論兩邊同時減去

2

3

整理，證明數列{a_n-

2

3

}是等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（3）利用等比數列的求和公式，求和，即可求得結論．

解答：解：（1）∵關于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的兩根α，β，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，
∴6•

an+1

an

-2•

1

an

=3
∴a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

；
（2）由（1）知，a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

），
∴{a_n-

2

3

}是以

1

3

為首項，公比為

1

2

的等比數列，
∴a_n-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2

3

+

1

3

•(

1

2

)n-1；
（3）S_n=

2

3

n+

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

2

3

n+

2

3

(1-

1

2n

)為遞增函數，
∴S_n≥1．

點評：本題是對數列的遞推關系以及韋達定理和等比數列知識的綜合考查，考查數列的通項與求和，屬于中檔題．