Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(

5

，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3

2

與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F₁（-

2

，0）、F₂（

2

，0），橢圓C上一動點M₁滿足|

M1F1

|+|

M1F

2|=2

3

．設點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l₁、l₂使得l₁、l₂與橢圓C都各只有一個交點，且l₁、l₂分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l₁與l₂的方程，并求線段|

MN

|的長度．

Answer 1

分析：（1）將點(

5

，0)代入橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1中可求出a²=5又焦距為4再結合b²=a²-c²=1可求出b²=1故圓的半徑R=

6

，再由圓心（0，0）寫出圓的方程．
（2）由于直線x+y=3

2

與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點可以得到即

|0+0-3 2 |

12+12

=

a2+b2

即a²+b²=9在結合a＞b＞0求出a，b的取值范圍即可得到動點（a，b）的軌跡方程，再根據軌跡方程即可做出對應的圖象．
（3）由題意得得a=

3

，半焦距c=

2

進而求出b²=a²-c²=1所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1所以“伴隨圓”的方程為x²+y²=4，再根據題意知P點的坐標為（0，2）進而可根據題意設與橢圓有一個交點的直線為y=kx+2在與橢圓方程聯立可求出K的值即可寫出符合條件的直線方程．對于線段|

MN

|的長度可利用|

MN

|，l₂垂直求出．

解答：解：（1）由題意得：

( 5 )2

a2

+

02

b2

=1，則a²=5；
又由焦距為2c=4，所以焦距為b²=a²-c²=1；
故所求的“伴隨圓”的方程為x²+y²=6；
（2）由于橢圓C的“伴隨圓”x²+y²=a²+b²與直線x+y=3

2

有且只有一個交點，則圓心到直線的距離等于半徑，
即

|0+0-3 2 |

12+12

=

a2+b2

；
故動點Q（a，b）軌跡方程為a²+b²=9（a＞b＞0）
即動點的軌跡是：以原點為圓心半徑為3的圓上八分之一弧（除去兩端點），如圖；
（3）由題意得：2a=2

3

得a=

3

，半焦距c=

2

來了
則b=1橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1“伴隨圓”的方程為x²+y²=4；
文科　因為“伴隨圓”的方程為x²+y²=4與M、N軸正半軸的交點P（0，2），
設過點P（0，2），且與橢圓有一個交點的直線為y=kx+2，
則

y=kx+2 x2 3 +y2=1

整理得（1+3k²）x²+12kx+9=0；
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1
所以|

MN

|，l₂的方程為y=x+2，y=-x+2；
由于|

MN

|，l₂垂直，線段|

MN

|的長度為4；

點評：本題雖說給出了“伴隨圓”這個新定義但是考查的還是橢遠的有關知識：求a，b，c，求橢圓方程，然后橢圓與圓比如第一問，橢圓與直線（比如第二第三問）的綜合問題的考查，最終還是圓錐曲線間的綜合．而解決此類問題一定要看清楚題中的信息和條件還要把問題轉化為數學語言比如橢圓C的“伴隨圓”x²+y²=a²+b²與直線x+y=3

2

有且只有一個交點，則圓心到直線的距離等于半徑即即

|0+0-3 2 |

12+12

=

a2+b2

還有直線與圓錐曲線的交點個數問題轉化為直線與圓錐曲線方程聯立所構成的方程組的解的個數問題，這是解決此類問題常用的方法！