Question

已知a∈R，函數f （x）=-x³+ax²+2ax （x∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f （x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）函數f （x）能否在R上單調遞減，若是，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由；
（Ⅲ）若函數f （x）在[-1，1]上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0，求出的解集就是增區間．
（2）函數f （x）要在R上單調遞減則要使fˊ（x）≤0恒成立，這樣轉化成二次函數恒小于零即可．
（3）函數f（x）在[-1，1]上單調遞增可轉化成f'（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，可利用參數分離法將變量a分離出來，然后求函數的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x³+x²+2x，
∴f'（x）=-x²+x+2，（2分）
令f'（x）＞0，即-x²+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函數f（x）的單調遞增區間是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函數f（x）在R上單調遞減，則f'（x）≤0對x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0對x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0對x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴當-8≤a≤0時，函數f（x）能在R上單調遞減；（10分）
（Ⅲ）∵函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，
∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0對x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2對x∈[-1，1]都成立，即a≥對x∈[-1，1]都成立．（12分）
令g（x）=，則g'（x）==．
當-1≤x＜0時，g'（x）＜0；當0≤x＜1時，g'（x）＞0．
∴g（x）在[-1，0]上單調遞減，在[0，1]上單調遞增．
∵g（-1）=1，g（1）=，∴g（x）在[-1，1]上的最大值是g（-1）=1，∴a≥1．（15分）
點評：本題是一道函數的綜合題，主要考查了函數的單調區間，函數的恒成立問題，屬于中檔題．