Question

【題目】已知,定點(diǎn),定直線和上的動點(diǎn)滿足：在直線的同側(cè),點(diǎn)在直線的另一側(cè).以為焦點(diǎn)作與直線相切的橢圓,且當(dāng)在上運(yùn)動時,橢圓的長軸長為定值.

(1)求直線的方程；

(2)對于第一象限內(nèi)任意2012個在橢圓上的點(diǎn),是否一定可以將它們分成兩組,使得其中一組點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不大于2013,另一組點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和不大于2013?請證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為.則過橢圓與直線的切點(diǎn).從而, (即橢圓的長軸長)為定值.于是,點(diǎn)Q在以為圓心、為半徑的圓上.

由的任意性及在上,知.故點(diǎn)與重合,即直線為線段的中垂線.

注意到,.

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為,所以,直線的方程為.

(2)可以.

設(shè)這2012個點(diǎn)為.

由(1)知直線的方程為.

又易知點(diǎn)在直線的下方,故,且.

不失一般性,不妨設(shè).

(i)若,則將點(diǎn)分為一組,點(diǎn)作為一組符合題意.

(ii)若,則存在,使得

,且.

于是,對任意的,有.

故

將點(diǎn)分為一組,點(diǎn)分為一組.則前一組點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不大于2013,后一組點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和不大于2013.