Question

設a，b，c為△ABC的三邊，求方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據充分條件和必要條件的定義，先求出方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的條件，然后證明充分性即可．

解答： 證明：必要性：設方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0的公共根為m，
則

m2+2am+b2=0 m2+2cm-b2=0

，
兩式相減得得m=-（a+c）．（m=0舍去）．）
將m=-（a+c）代入m²+2am+b²=0，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，
整理得a²=b²+c²．
所以A=90°．
充分性：當A=90°時，a²=b²+c²．
于是x²+2ax+b²=0?x²+2ax+a²-c²=0?[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
該方程有兩根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．
同樣，x²+2cx-b²=0?[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
該方程亦有兩根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a）．
顯然x₁=x₃，兩方程有公共根．
故方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是A=90°．

點評：本題考查的是充要條件的證明，有關充要條件的證明問題，要分兩個環節：一是充分性；二是必要性，屬于中檔題．