Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，與交于點(diǎn)，若平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的大小；

（3）求異面直線所成的角的大小.

Answer 1

【答案】(1) 證明見(jiàn)解析； (2) ； (3)

【解析】

(1)由條件可得,又有，則平面，從而可證.
(2)建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，從而求出答案.
(3) 建立空間坐標(biāo)系,求出向量的坐標(biāo)，利用向量的方法求出答案.

(1) 平面,且平面

所以，又，且

所以平面，又平面

所以.

(2)由，平面

以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

在三角形中，，則為正三角形,

因?yàn)?/span>與交于點(diǎn)，，即

又因?yàn)?/span>中,,所以邊的中點(diǎn)，

所以

由,,則,

在直角三角形中，,,所以.

, ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量

,，

則 即

取，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量

,

則 即

取，則

由

，

所以二面角的大小為

(3) ,

所以異面直線所成的角的大小為.