Question

設(shè)函數(shù)，，，
（1）若曲線與軸相切于異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，且函數(shù)的極小值為，求的值；
（2）若，且，
①求證：； ②求證：在上存在極值點(diǎn)．

Answer 1

(1) ，.  (2) 在上是存在極值點(diǎn)

試題分析：
(1)分析題意,可得該三次函數(shù)過原點(diǎn),根據(jù)函數(shù)與x軸相切,所以有個極值為0且有一個重根,故可得函數(shù)有一個極大值0和一個極小值,有一個重根,則對因式分解會得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判別,得到a,b之間的關(guān)系式,再根據(jù)極小值為,則求導(dǎo)求出極小值點(diǎn),得到關(guān)于a,b的另外一個等式,即可求出a,b的值.
(2) ①對求導(dǎo),帶入與已知條件聯(lián)立化簡即可得到需要的不等式.
②求出,討論a的取值范圍,證明其中必有兩者異號,則根據(jù)零點(diǎn)存在定理,即可證明有極值點(diǎn).
試題解析：
（1），
依據(jù)題意得：，且．             2分
，得或．
如圖，得,
∴，，
代入得，.              4分

（2）①．

．           8分
②，．
若，則，由①知，
所以在有零點(diǎn)，從而在上存在極值點(diǎn)．          10分
若，由①知;
又，
所以在有零點(diǎn)，從而在上存在極值點(diǎn)．……12分
若，由①知，，
所以在有零點(diǎn)，從而在上存在極值點(diǎn)．
綜上知在上是存在極值點(diǎn)．                 14分