Question

設F₁，F₂為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過坐標原點O的直線與雙曲線C在第一象限內交于點P，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂為銳角三角形，則直線OP斜率的取值范圍是（　　）

• A、(

  2 3

  3

  ，

  4

  3

  )
• B、(

  4

  3

  ，

  3

  )
• C、(1，

  2 3

  3

  )
• D、(

  2 3

  3

  ，

  2

  )

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：首先，設直線OP的方程，然后根據雙曲線的定義，并結合條件|PF₁|+|PF₂|=6a，求解|PF₁|和|PF₂|的值，然后，根據△PF₁F₂為銳角三角形，聯立方程組寫出相應的點P的坐標，最后限制范圍即可．

解答： 解：∵|PF₁|+|PF₂|=6a，
|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵|F₁F₂|=2c，
∵△PF₁F₂為銳角三角形，
∴

(4a)2+(2a)2-(2c)2＞0 (4a)2+(2c)2-(2a)2＞0 (2a)2+(2c)2-(4a)2＞0

，
∴

5a2-c2＞0 3a2+c2＞0 c2-3a2＞0

，
∴

3

＜e＜

5

，
∴3＜1+（

b

a

）²＜5，
∴

2

＜

b

a

＜2，
欲使得過坐標原點O的直線與雙曲線C在第一象限內交于點P，
∴k∈（

2 3

3

，

4

3

）．
故選：A．

點評：本題重點考查了雙曲線的標準方程、幾何性質、直線與雙曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．解題關鍵是理解直線與雙曲線的位置關系處理思路和方法．