Question

【題目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帳篷構成.每座帳篷的體積為立方米，且分上下兩層，其中上層是半徑為（單位：米）的半球體，下層是半徑為米，高為米的圓柱體（如圖）.經測算，上層半球體部分每平方米建造費用為2千元，下方圓柱體的側面、隔層和地面三個部分平均每平方米建造費用為3千元，設每座帳篷的建造費用為千元.

參考公式：球的體積，球的表面積，其中為球的半徑.

（1）求關于的函數解析式，并指出該函數的定義域；

（2）當半徑為何值時，每座帳篷的建造費用最小，并求出最小值.

Answer 1

【答案】（1），定義域為；（2）當半徑為時，建造費用最小，最小為千元．

【解析】

（1）由圖可知帳篷體積半球體積圓柱體積，即，表示出，則，化簡得；再由，即可求出函數的定義域

（2），，根據導函數求出其最小值即可．

解：（1）由題意可得，所以，

所以，即；

因為，，所以，則，所以定義域為，

故，定義域為；

（2）設，，則，令，解得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以當時，取極小值也是最小值，且．

當半徑為時，建造費用最小，

答：當半徑為時，建造費用最小，最小為千元．