Question

（2012•河南模擬）選修4-5：不等式選講
設f（x）=2|x|-|x+3|．
（1）求不等式f（x）≤7的解集S；
（2）若關于x的不等式f（x）+|2t-3|≤0有解，求參數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過對x的取值范圍分類討論將絕對值符號去掉，作出其圖象即可得到所求的解集S；
（2）f（x）+|2t-3|≤0有解?f（x）_min+|2t-3|≤0有解，從而可得答案．

解答：解：（1）f（x）=

-x+3，x＜-3 -3x-3，-3≤x≤0 x-3，x＞0

，如圖，函數y=f（x）的圖象與直線y=7相交于橫坐標為x₁=-4，x₂=10的兩點，
由此得S=[-4，10]
（2）由（1）知，f（x）的最小值為-3，則關于x的不等式f（x）+|2t-3|≤0有解，必須且只需-3+|2t-3|≤0，解得0≤t≤3，
∴t的取值范圍是[0，3]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，去掉絕對值符號，作出函數圖象是關鍵，考查分析轉化與作圖能力，屬于中檔題．