Question

【題目】已知在點(diǎn)處的切線與直線平行．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)．

（i）若函數(shù)在上恒成立，求的最大值；

（ii）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，并給出證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；詳見解析.

【解析】

Ⅰ求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可求出a的值；Ⅱ求的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)和時(shí)的單調(diào)性，由單調(diào)性判斷最值即可得到b的最大值；化簡知0是的一個(gè)零點(diǎn)，利用構(gòu)造函數(shù)法討論和時(shí)，函數(shù)是否有零點(diǎn)，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)情況．

解：Ⅰ函數(shù)，則，

由題意知時(shí)，，即a的值為1；

Ⅱ，

所以，

當(dāng)時(shí)，若，則，，單調(diào)遞增，所以；

當(dāng)時(shí)，若，令，解得舍去，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，，所以不恒成立，

所以b的最大值為1；

，顯然有一個(gè)零點(diǎn)為0，

設(shè)，則；

當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)0；

當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，

又，，

由零點(diǎn)存在性定理可知，在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

所以有2個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．