Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2 3

3

，且過點P（

6

，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（O為坐標原點），求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用離心率公式，結合點在雙曲線上，建立方程組，即可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）先將直線與雙曲線方程聯立，轉化為方程(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0有兩個不同實根，再利用向量知識，結合

OA

•

OB

＞2，即可求實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意

c a = 2 3 3 6 a2 - 1 b2 =1

，∴a²=3，b²=1，∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1；
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+

2

與雙曲線C恒有兩個不同的交點，
∴方程組

x2 3 -y2=1 y=kx+ 2

恒有兩組不同的實數解，
∴方程(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0有兩個不同實根，
∴

1-3k2≠0 △=(-6 2 k)2+4×9(1-3k2)＞0

，∴k²＜1且k2≠

1

3

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=-

9

1-3k2

∵

OA

•

OB

＞2，∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+

2

k(x1+x2)+2＞2，
∴

k2-3

1-3k2

＞0，又∵k²＜1，
∴k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生轉化問題的能力，屬于中檔題．