Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與上下頂點構成直角三角形，以橢圓E的長軸為直徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）為橢圓上不同的三點，為坐標原點，若，試問：的面積是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）是定值，定值為

【解析】

（Ⅰ）根據題意利用圓心到直線的距離與半徑相等列出關于的關系,再根據一個焦點與上下頂點構成直角三角形可得,再聯立求解即可.

（Ⅱ）分當斜率不存在與存在兩種情況.當斜率存在時設直線,再聯立方程寫出韋達定理,再根據得出關于,的關系,代入化簡可得，再求出面積的表達式,代入化簡證明即可.

（Ⅰ）由題意知,

解得.則橢圓C的方程是：

（Ⅱ）①當斜率不存在時,不妨設,,

②設由

設,,則,.

由 ,代入有,化簡可得

原點到的距離,

故

綜上：的面積為定值