Question

（2013•河西區一模）若f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

（a≠1），在定義域（-∞，+∞）上是單調函數，則a的取值范圍是（　　）

• A．(1，

  2

  ]
• B．[-

  2

  ，-1)∪[

  2

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  2

  ]∪(1，

  2

  ]
• D．(0，

  2

  3

  )∪[

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：當函數單調性是增函數時，相應二次函數圖象為開口向上的拋物線且指數型函數的系數大于0，并且在x=0時，二次函數對應的值大于或等于指數型函數對應的值．由此建立關于a的方程組并解之，即可得到實數a的范圍，同樣的方法可得函數的單調性是減函數時實數a的取值范圍，最后綜合可得本題的答案．

解答：解：f（x）在定義域（-∞，+∞）上是單調函數時，
①函數的單調性是增函數時，可得當x=0時，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得-

2

≤a≤

2

∵x≥0時，y=ax²+1是增函數，∴a＞0
又∵x＜0時，（a²-1）e^ax是增函數，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，實數a的取值范圍是：1＜a＜

2

②函數的單調性是減函數時，可得當x=0時，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤-

2

或a≥

2

．
∵x≥0時，y=ax²+1是減函數，∴a＜0
又∵x＜0時，（a²-1）e^ax是增函數，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，實數a的取值范圍是：a＜-

2

綜上所述，得a∈(-∞，-

2

]∪(1，

2

]
故選：C

點評：本題以分段函數為例，求函數為單調函數時參數a的范圍，著重考查了二次函數、指數函數等基本初等函數的單調性及單調區間等知識，屬于中檔題．