Question

【題目】給定數列，若滿足且，對于任意的n，，都有，則稱數列為“指數型數列”．

Ⅰ已知數列，的通項公式分別為，，試判斷，是不是“指數型數列”；

Ⅱ若數列滿足：，，判斷數列是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；

Ⅲ若數列是“指數型數列”，且，證明：數列中任意三項都不能構成等差數列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不是指數型數列，是指數型數列；（Ⅱ）數列是“指數型數列”；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

Ⅰ利用指數型數列的定義，判斷即可；Ⅱ利用，，說明數列是等比數列，然后證明數列為“指數型數列”；Ⅲ利用反證法，結合n為偶數以及奇數進行證明即可．

Ⅰ解：對于數列，，

所以不是指數型數列．

對于數列，對任意n，，因為，

所以是指數型數列．

Ⅱ證明：由題意，是“指數型數列”，

，，

所以數列是等比數列，，

，數列是“指數型數列”．

Ⅲ證明：因為數列是指數型數列，故對于任意的n，，

有，，

假設數列中存在三項，，構成等差數列，不妨設，

則由，得，

所以，

當a為偶數時，是偶數，而是偶數，是奇數，

故不能成立；

當a為奇數時，是偶數，而是奇數，是偶數，

故也不能成立．

所以，對任意，不能成立，

即數列的任意三項都不成構成等差數列．