Question

【題目】已知橢圓，焦距為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若一直線與橢圓相交于、兩點（、不是橢圓的頂點），以為直徑的圓過橢圓的上頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線過定點．

【解析】

（1）根據橢圓的焦距求出的值，進而可得出橢圓的標準方程；

（2）設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，根據以為直徑的圓過橢圓的上頂點，得，利用平面向量數量積的坐標運算，并代入韋達定理，可得出與所滿足的等式，即可得出直線所過定點的坐標.

（1）設橢圓的焦距為，有，，所以，橢圓的焦點在軸上，

得，有，得，故橢圓的標準方程為；

（2）由方程組，得，

即．

，即．

設、兩點的坐標分別為、，

則，，，

．

以為直徑的圓過橢圓的上頂點，，即，

即，

化簡得，或．

當時，直線過定點，與已知矛盾．

當時，滿足，此時直線為過定點.

直線過定點．