Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先求導，再求為切線的斜率，寫出切線方程，與已知對應相等，可求得a，b.

（Ⅱ）方法一：構造，

問題轉化為在上恒成立，即，

求導對a分類討論，將導數為0的根與給定區間端點比較，從而求得g(x)的最小值，解得a的范圍.

方法二：直接分離變量得恒成立，令，，求導求得最小值即可.

（Ⅰ）

由已知得，， 切線方程為y-a=,即y=2ax+a，所以有2a=3，b=a，

從而．

（Ⅱ）方法一：令，

問題轉化為在上恒成立，

即，

，

①若，則，在上單調遞減，

又，不合題意，舍去.

②若，則由及，得．

當時，；當時，，

故在單調遞減，在單調遞增．

所以當時，取得極小值，即為最小值，

，

由，解得

③若，在上恒成立，

所以在上單調遞增，

所以，滿足題意．

綜上，的取值范圍為．

方法二：由已知得：當時，恒成立，

問題轉化為：當時，

令，

則，

由及，得．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以，當時，

所以．即的取值范圍為．