Question

設(shè)向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cos(

π

4

+α)，cos(

π

4

-α))，

c

=

a

+t

b

，其中α為銳角．
（1）求

a

•

b

；
（2）求|

c

|的最小值，并求出此時(shí)的t值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可．
（2）利用數(shù)量積的應(yīng)用，求出向量長(zhǎng)度，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

解答：解：（1）

a

•

b

=cosαcos(

π

4

+α)+sinαcos(

π

4

-α)=cosαcos(

π

4

-α)+sinαcos(

π

4

-α)=sin

π

4

=

2

2

．
（2）∵

c

=

a

+

tb

=(cosα+tsin(

π

4

-α)，sinα+tcos(

π

4

-α)，
∴|

c

|=

1+t2+2t[cosαtsin( π 4 -α)]+sinαtcos( π 4 -α)

=

t2+ 2 t+1

，
∴當(dāng)t=-

2

2

時(shí)，|

c

|取得最小值

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)量積的定義以及數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．