Question

已知函數f（x）=sinωx+2

3

cos²

wx

2

+1-

3

（w＞0）的周期為π．
（1）求f（x）的解析式并求其單調遞增區間；
（2）將f（x）的圖象先向下平移1個單位長度；再向左平移μ（μ＞0）個單位．得到函數h（x）的圖象，若H（X）為奇函數，求μ的最小值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的單調性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

）+1，周期為π，即可解得ω的值，從而求得f（x）的解析式并求其單調遞增區間；
（2）先由圖象變換的規律解得g（x）的解析式，再由奇函數的性質得g（0）=0可求ϕ的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+2

3

cos²

wx

2

+1-

3

=sinωx+

3

+

3

cosωx+1-

3

=2sin（ωx+

π

3

）+1
∵T=

2π

ω

=π
∴ω=2．
故f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
故單調遞增區間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．
（2）由（1）可知：將f（x）的圖象先向下平移1個單位得函數y=2sin（2x+

π

3

）的圖象，
再向左平移μ（μ＞0）個單位得g（x）的圖象，則g（x）=2sin[2（x+μ）+

π

3

]，若g（x）為奇函數，
則g（0）=2sin（2μ+

π

3

），即2μ+

π

3

=kπ，（k∈Z），又μ＞0，故μ的最小值為

π

3

．

點評：本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的單調性，為三角函數的綜合應用，涉及奇函數的特點，屬于基本知識的考查．屬于中檔題．