Question

若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，側棱長為2

3

，則此三棱柱外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：根據(jù)三棱柱的底面邊長及高，先得出棱柱底面外接圓的半徑及球心距，進而求出三棱柱外接球的球半徑，
代入球的表面積公式即可得到棱柱的外接球的表面積

解答： 解：解：由正三棱柱的底面邊長為3，
得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r=

2 3

3

，
又由正三棱柱的側棱長為2

3

，則球心到圓O的球心距d=

3

，
根據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構成直角三角形，
滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：
R²=r²+d²=

13

3

，R=

39

3

，
∴外接球的表面積S=4πR²=4π×

13

3

=

52π

3

．
故答案為：

52π

3

．

點評：本題考查的是棱柱的幾何特征及球的體積和表面積，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，
其中根據(jù)已知求出三棱柱的外接球半徑是解答本題的關鍵．