Question

【題目】拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB= ．設線段AB的中點M在l上的投影為N，則 的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設|AF|=a，|BF|=b，A、B在準線上的射影點分別為Q、P，
連接AQ、BQ
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根據中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos =a2+b2+ab，
配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（ ）2 ，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（ ）2= （a+b）2
得到|AB|≥ （a+b）．
所以 ≤ = ，即 的最大值為 ．
故選C．

設|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，結合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得 的最大值．