Question

【題目】函數f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數f′（x）= v，g（x）=f（x）+af′（x）．
（1）若a＜0，試判斷g（x）在定義域內的單調性；
（2）若g（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（3）證明：當a≥1時，g（x）＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設易知f（x）=lnx，∴g（x）=lnx+ ，g（x）的定義域為（0，+∞），

且g′（x）= ．∵a＜0，∴g′（x）＞0，

故g（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．

（2）解：①若a≤1，則x﹣a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，

此時g（x）在[1，e]上為增函數，

∴g（x）min=g（1）=a= ＞1 （舍去）．

②若a≥e，則x﹣a≤0，則g′（x）≤0在[1，e]上恒成立，

此時g（x）在[1，e]上為減函數，

∴g（x）min=g（e）=1+ = ，∴a= ＜e （舍去）．

③若1＜a＜e，令g′（x）=0得x=a，

當1＜x＜a時，g′（x）＜0，∴f（x）在（1，a）上為減函數；

當a＜x＜e時，g′（x）＞0，∴f（x）在（a，e）上為增函數，

∴g（x）min=g（a）=lna+1= ，∴a= ．

綜上所述，a= ．

（3）證明：令函數h（x）=（x﹣1）﹣lnx（x＞0），

x＞1時，h′（x）＞0，又在x=1處連續，

∴x∈[1，+∞）時，為增函數，∵ ，

∴ ，即： ，

整理得： ，

又當a≥1時，有 ，命題得證．

法二：可探究“g（x）＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立”的充要條件是“a≥1”．

由g（x）＞ln（x+1）得： ，令 ，

利用導數與極限知識，可求h（x）的最大值．

【解析】（1）求出函數的導數，判斷出導函數的符號，從而求出函數的單調性；（2）討論a的范圍，得到函數的單調區間，從而表示出函數在閉區間上的最小值，求出a的值即可；（3）法一：令函數h（x）=（x﹣1）﹣lnx（x＞0），求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可；法二：分離參數證明即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．