Question

你能利用如圖，給出下列兩個等式的一個證明嗎？

1

2

（sinα+sinβ）=sin

α+β

2

cos

α-β

2

；

1

2

（cosα+cosβ）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

Answer 1

考點：三角函數線

專題：三角函數的求值

分析：求出線段AB的中點M的坐標，過M作MM₁垂直于x軸，交x軸于M₁，則直角三角形中，根據三角形的半徑關系進行求解即可．

解答： 解：線段AB的中點M的坐標為（

1

2

（cosα+cosβ），

1

2

（sinα+sinβ））．過M作MM₁垂直于x軸，交x軸于M₁
∠MOM1=

1

2

(β-α)+α=

α+β

2

．
在Rt△OMA中，OM=OAcos

β-α

2

=cos

α-β

2

．
在Rt△OM₁M中，OM₁=OMcos∠MOM₁=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．
M₁M=OMsin∠MOM₁=sin

α+β

2

cos

α-β

2

．
于是有

1

2

（sinα+sinβ）=sin

α+β

2

cos

α-β

2

；

1

2

（cosα+cosβ）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

點評：本題主要考查三角函數式的化簡和證明，根據三角函數線之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．