Question

已知函數f(x)＝x³－ax－1.
(1)若a＝3時，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
(3)是否存在實數a，使f(x)在(－1，1)上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）f(x)的單調增區間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，單調減區間為(－1，1)（2）a≤0.（3）存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，且a≥3.

(1)當a＝3時，f(x)＝x³－3x－1，∴f′(x)＝3x²－3，
令f′(x)>0即3x²－3>0，解得x>1或x<－1，
∴f(x)的單調增區間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
同理可求f(x)的單調減區間為(－1，1)．
(2)f′(x)＝3x²－a.
∵f(x)在實數集R上單調遞增，
∴f′(x)≥0恒成立，即3x²－a≥0恒成立，∴a≤(3x²)_min.
∵3x²的最小值為0，∴a≤0.
(3)假設存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，
∴f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x².
又3x²∈[0，3)，∴a≥3.
∴存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，且a≥3.