Question

【題目】（本小題共分）

若或，則稱為和的一個位排列，對于，將排列記為，將排列記為，依此類推，直至，對于排列和，它們對應位置數字相同的個數減去對應位置數字不同的數，叫做和的相關值，記作，例如，則，，若，則稱為最佳排列．

（Ⅰ）寫出所有的最佳排列．

（Ⅱ）證明：不存在最佳排列．

（Ⅲ）若某個（是正整數）為最佳排列，求排列中的個數．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據最佳排列的定義可得，最佳排列為、、、、、；（Ⅱ）由，可得，，，，之中有個，個，而經過奇數次數碼改變不能回到自身，所以不存在，使得；（Ⅲ）與每個人有個對應位置數碼相同，有個對應位置數碼不同，設， ，中有個，個，則，可得，解得或，從而得出結論.

試題解析：（Ⅰ）最佳排列為、、、、、．

（Ⅱ）設，則，

因為，

所以，，，，之中有個，個，

按的順序研究數碼變化，

有上述分析可知由次數碼不發生改變，有次數碼發生了改變，

但是經過奇數次數碼改變不能回到自身，

所以不存在，

使得，

從而不存在最佳排列．

（Ⅲ）由或，，，，

得，，，

，

，

以上各式求和得，，

另一方面，還可以這樣求和：設， ，中有個，個，

則，

所以，

得或，

所以排列中的個數是或個．