Question

已知函數,().
(1)求函數的單調區間；
(2)求證:當時,對于任意,總有成立．

Answer 1

（1）當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為,；當時,的單調遞增區間為,,單調遞減區間為；（2）詳見解析.

試題分析：（1）對于含參數的函數的單調區間，只需在定義域內考慮導函數符號，同時要注意分類討論標準的確定.先求，分母恒正，只需考慮分子二次函數的符號，所以討論開口方向即可；（2）由于是獨立的兩個變量，故分別代表，的任意兩個函數值，要使得恒成立，只需證明，分別利用導數求其最大值和最小值，從而得證，該題入手，可能很多同學困惑于這兩個變量的處理，從而造成了解題障礙.
試題解析：(Ⅰ)函數的定義域為,. 
當時, 
當變化時,,的變化情況如下表:

		0		0
	↘		↗		↘

當時, 
當變化時,,的變化情況如下表:

		0		0
	↗		↘		↗

綜上所述,
當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為,; 
當時,的單調遞增區間為,,單調遞減區間為. 
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,當時, 在上單調遞增,;在上單調遞減,且. 所以時,. 因為,所以,令,得. 
①當時,由,得;由,得, 所以函數在上單調遞增,在上單調遞減. 所以. 
因為, 所以對于任意,總有. 
②當時,在上恒成立, 所以函數在上單調遞增,. 
所以對于任意,仍有，綜上所述,對于任意,總有