Question

【題目】已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過作直線，交（1）中軌跡于兩點，若中點的縱坐標為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用直接法，求動圓圓心P的軌跡T的方程；

（2）法一：由（1）得拋物線E的焦點C（1，0）設A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法，求出線段AB中點的縱坐標，得到直線的斜率，求出直線方程．

法二：設直線l的方程為x＝my+1，聯立直線與拋物線方程，設A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），通過韋達定理，求出m即可．

（1）設P（x，y），則由題意，|PC|﹣（x），

∴x+1，

化簡可得動圓圓心P的軌跡E的方程為y2＝4x；

（2）法一：由（1）得拋物線E的方程為y2＝4x，焦點C（1，0）

設A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

則

兩式相減．整理得

∵線段AB中點的縱坐標為﹣1

∴直線l的斜率

直線l的方程為y﹣0＝﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2＝0.

法二：由（1）得拋物線E的方程為y2＝4x，焦點C（1，0）

設直線l的方程為x＝my+1

由消去x，得y2﹣4my﹣4＝0

設A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

∵線段AB中點的縱坐標為﹣1

∴

解得

直線l的方程為即2x+y﹣2＝0.