Question

已知函數f（x）=sin（2ωx+

π

3

），（其中ω＞0），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標是

π

6

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）+

3

2

+a在區間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

，求實數a的值．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據條件求出ω的值，利用三角函數的周期公式即可求f（x）的最小正周期；
（2）將函數f（x）+

3

2

+a進行化簡，利用函數的最值性質即可得到結論．

解答： 解：（1）由題意得2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

，所以ω=

1

2

----------------（3分）
所以  f(x)=sin(x+

π

3

)f（x）的最小正周期T=2π----------------（6分）
（2）由x∈[-

π

3

，

5π

6

]時，x+

π

3

∈[0，

7π

6

]，
所以-

1

2

≤sin(x+

π

3

)≤1----------------（10分）f(x)+

3

2

+a在區間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為-

1

2

+

3

2

+a
則 -

1

2

+

3

2

+a=

3

所以  a=

1

2

+

3

2

----------------（14分）

點評：本題主要考查三角函數的周期和最值的應用，要求熟練掌握三角函數的圖象和性質．